Mối quan tâm lớn của lý thuyết số là tốc độ tăng trưởng của hàm đếm số nguyên tố.[2][3] Nó được Gauss và Legendre phỏng đoán vào cuối thế kỷ 18 là xấp xỉ với

x ln ⁡ ( x ) {\displaystyle {\frac {x}{\ln(x)}}}

theo nghĩa

lim x → ∞ π ( x ) x / ln ⁡ ( x ) = 1. {\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\ln(x)}}=1.}

Phát biểu này là nội dung của định lý số nguyên tố. Một tuyên bố tương đương là

lim x → ∞ π ( x ) / li ⁡ ( x ) = 1 {\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\pi (x)/\operatorname {li} (x)=1\!}

Trong đó li là hàm tích phân logarit. Định lý số nguyên tố được Jacques Hadamard và Charles de la Vallée Poussin chứng minh lần đầu tiên vào năm 1896 một cách độc lập, sử dụng các thuộc tính của hàm Riemann zeta do Riemann giới thiệu vào năm 1859. Cách chứng minh định lý số nguyên tố không sử dụng hàm zeta hoặc giải tích phứ đã được Atle Selberg và Paul Erdős tìm ra vào khoảng năm 1948 (hầu hết các phần này đều được họ tìm ra hoàn toàn độc lập với nhau).[4]

Ước tính chính xác hơn về π ( x ) {\displaystyle \pi (x)\!} bây giờ đã được biết đến; ví dụ [cần dẫn nguồn]

π ( x ) = li ⁡ ( x ) + O ( x e − ln ⁡ x / 15 ) {\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O{\bigl (}xe^{-{\sqrt {\ln x}}/15}{\bigr )}\!}

trong đó O là ký hiệu O lớn. Đối với hầu hết các giá trị của x {\displaystyle x} chúng ta quan tâm đến (tức là khi x {\displaystyle x} không lớn quá mức) li ⁡ ( x ) {\displaystyle \operatorname {li} (x)\!} lớn hơn π ( x ) {\displaystyle \pi (x)\!} . Tuy nhiên, π ( x ) − li ⁡ ( x ) {\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)} được biết là thay đổi dấu hiệu vô hạn nhiều lần. Để thảo luận về điều này, xem số Skewes.

Dạng chính xác

Bernhard Riemann đã chứng minh rằng hàm đếm số nguyên tố chính xác là [5]

π ( x ) = R ⁡ ( x ) − ∑ ρ R ⁡ ( x ρ ) {\displaystyle \pi (x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho })}

trong đó

R ⁡ ( x ) = ∑ n = 1 ∞ μ ( n ) n li ⁡ ( x 1 / n ) {\displaystyle \operatorname {R} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {li} (x^{1/n})} ,

μ(n) là hàm Mobius, li(x) là hàm số tích phân logarit, ρ đánh dấu mỗi giá trị zero của hàm zeta Riemann, và li(xρ/n) không được đánh giá với một nhánh rẽ nhưng thay vì coi là Ei(ρ/n ln x). Một cách tương đương, nếu các giá trị 0 tầm thường được thu thập và tổng được lấy chỉ qua các giá trị 0 không tầm thường ρ của hàm zeta Riemann, sau đó π(x) có thể được viết thành

π ( x ) = R ⁡ ( x ) − ∑ ρ R ⁡ ( x ρ ) − 1 ln ⁡ x + 1 π arctan ⁡ π ln ⁡ x {\displaystyle \pi (x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho })-{\frac {1}{\ln {x}}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {\pi }{\ln {x}}}} .

Giả thuyết Riemann gợi ý rằng với mỗi giá trị 0 không tầm thường thì Re(s) = 1/2